Cálculo Exemplos

$x e^{- 2 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 2 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 2 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 x$ .

$x (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 x}$ .

$x (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$x (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os termos.

$- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- 2 x} x + e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 2 x e^{- 2 x} + e^{- 2 x}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $e^{- 2 x}$ de $- 2 x e^{- 2 x}$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} = 0$

Etapa 2.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $e^{- 2 x}$ de $e^{- 2 x} (- 2 x) + e^{- 2 x} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

$- 2 x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $e^{- 2 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $e^{- 2 x}$ como igual a $0$ .

$e^{- 2 x} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $e^{- 2 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

Etapa 2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 2 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.5

Defina $- 2 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $- 2 x + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $- 2 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 1$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- 2 x} (- 2 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x e^{- 2 x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$(\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 1}$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{2 e}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e})$

Etapa 5