Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 6}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x - 6$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x - 6$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 6) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 6)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 6))}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 6) x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 6 x) - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 6 x) - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 6 x) - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x - x^{2}}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $x$ de $x^{2} - 12 x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 12 x}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Fatore $x$ de $- 12 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 12}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x (x - 12) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 12 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3

Defina $x - 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 12$ como igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$x = 12$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 12$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{x (x - 12)}{{(x - 6)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 6)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4

Avalie $\frac{x^{2}}{x - 6}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 6}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0 - 6}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$\frac{0}{- 6}$

Etapa 4.1.2.3

Divida $0$ por $- 6$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 12$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $12$ por $x$ .

$\frac{{(12)}^{2}}{(12) - 6}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$\frac{144}{12 - 6}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $6$ de $12$ .

$\frac{144}{6}$

Etapa 4.2.2.3

Divida $144$ por $6$ .

$24$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 6$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $6$ por $x$ .

$\frac{{(6)}^{2}}{(6) - 6}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{{(6)}^{2}}{0}$

Etapa 4.3.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (12, 24)$

Etapa 5