Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 1.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Etapa 1.1.4.2.3

Combine $x$ e $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\frac{1}{x^{2} + 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{1}{{(0)}^{2} + 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(0, 1)$

Etapa 5