Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{1}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 + \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Etapa 1.1.3.5

Combine $\frac{- 2}{2}$ e $x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Etapa 1.1.3.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Etapa 1.1.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Etapa 1.1.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{1}{3} + \frac{- x}{1}$

Etapa 1.1.3.6.2.4

Divida $- x$ por $1$ .

$0 + \frac{1}{3} - x$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Some $0$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} - x$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - x + \frac{1}{3}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- x + \frac{1}{3}$ .

$- x + \frac{1}{3}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x + \frac{1}{3} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- x + \frac{1}{3} = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $\frac{1}{3}$ dos dois lados da equação.

$- x = - \frac{1}{3}$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $- x = - \frac{1}{3}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $- x = - \frac{1}{3}$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{1}{3}}{- 1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{\frac{1}{3}}{1}$

Etapa 2.3.3.2

Divida $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $4 + \frac{1}{3} x - \frac{1}{2} x^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{1}{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{1}{3}$ por $x$ .

$4 + \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}) - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $\frac{1}{3} (\frac{1}{3})$ .

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Etapa 4.1.2.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{3 \cdot 3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{3}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9}$ .

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Etapa 4.1.2.1.5.1

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{1}{2}$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{9 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Multiplique $9$ por $2$ .

$4 + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.1.2.2.1

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{4}{1} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Etapa 4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{18}{18}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} - \frac{1}{18}$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{18}$

Etapa 4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{9 \cdot 2} - \frac{1}{18}$

Etapa 4.1.2.2.6

Reordene os fatores de $9 \cdot 2$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{2 \cdot 9} - \frac{1}{18}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{4 \cdot 18}{18} + \frac{2}{18} - \frac{1}{18}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cdot 18 + 2 - 1}{18}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $4$ por $18$ .

$\frac{72 + 2 - 1}{18}$

Etapa 4.1.2.4.2

Some $72$ e $2$ .

$\frac{74 - 1}{18}$

Etapa 4.1.2.4.3

Subtraia $1$ de $74$ .

$\frac{73}{18}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{3}, \frac{73}{18})$

Etapa 5