Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15 x$ em relação a $x$ é $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $15$ por $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

Etapa 2.2

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.3.1

Fatore $15$ de $15 u^{2} - 30 u + 15$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $15$ de $15 u^{2}$ .

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

Etapa 2.3.1.2

Fatore $15$ de $- 30 u$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

Etapa 2.3.1.3

Fatore $15$ de $15$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

Etapa 2.3.1.4

Fatore $15$ de $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ .

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

Etapa 2.3.1.5

Fatore $15$ de $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Etapa 2.3.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.3.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva o polinômio.

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 2.3.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Divida cada termo em $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ por $15$ e simplifique.

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Etapa 2.4.1

Divida cada termo em $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ por $15$ .

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

Etapa 2.4.2.1.2

Divida ${(u - 1)}^{2}$ por $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

Etapa 2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.3.1

Divida $0$ por $15$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.5

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 2.6

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 2.7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = 1$

Etapa 2.8

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.8.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.8.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.8.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.8.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.8.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

Etapa 4.1.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$3 - 10 + 15 (1)$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $15$ por $1$ .

$3 - 10 + 15$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $10$ de $3$ .

$- 7 + 15$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 7$ e $15$ .

$8$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 10$ por $- 1$ .

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$- 3 + 10 - 15$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Some $- 3$ e $10$ .

$7 - 15$

Etapa 4.2.2.2.2

Subtraia $15$ de $7$ .

$- 8$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, 8), (- 1, - 8)$

Etapa 5