Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0} - \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.9.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{1} - \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.9.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.9.1.3

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1 - \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.9.1.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.9.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.2.9.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{1 + x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + x}$ como ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 + x$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.11

Some $0$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.13

Multiplique $\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.3.14

Mova ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 - x}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 - x}$ como ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 1.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.8

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.9

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.4.11.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.11.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.14

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{1}{2} {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.15

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.16

Combine $\frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{{(1 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.17

Mova $- 1$ para a esquerda de ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1 \cdot {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.18

Reescreva $- 1 {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ como $- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- {(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.19

Mova ${(1 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.21

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.4.22

Multiplique $\frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.4.1

Reescreva ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 {(1 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva ${(1 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{1 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}}{1}$

Etapa 1.5

Divida $\frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.8

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.9

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x}}$

Etapa 2.11

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x}}$

Etapa 2.12

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 2.13

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.1.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.1.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 4.1.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.1.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.5

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 4.1.6

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 + 1}{2}$

Etapa 4.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{2}$

Etapa 4.4

Divida $2$ por $2$ .

$1$