Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{5 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 12 x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $12$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 5 x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0^{3} + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.7.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0^{2} - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 12 \cdot 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.1.3

Multiplique $12$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 - 5 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.1.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.7.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{3} + 12 x^{2} - 5 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} + 12 x^{2} - 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 12 x^{2} - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 12 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 2.3.5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 24 x - 5}{1}$

Etapa 2.4

Divida $3 x^{2} + 24 x - 5$ por $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 24 x - 5$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Etapa 3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Etapa 3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 24 x - lim_{x \to 0} 5)$

Etapa 3.4

Mova o termo $24$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 5)$

Etapa 3.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{5} (3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

Etapa 4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 5)$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0^{2} + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Etapa 5.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (0 + 24 \cdot 0 - 1 \cdot 5)$

Etapa 5.1.3

Multiplique $24$ por $0$ .

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 1 \cdot 5)$

Etapa 5.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{1}{5} (0 + 0 - 5)$

Etapa 5.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} (0 - 5)$

Etapa 5.3

Subtraia $5$ de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 5$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$\frac{1}{5} \cdot (5 (- 1))$

Etapa 5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Etapa 5.4.3

Reescreva a expressão.

$- 1$