Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \frac{4}{x - 4}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{4}{x - 4}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{4}{x - 4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(\sqrt{x} - 2) (x - 4)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$ por $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 2) (x - 4)} - \frac{4}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{4}{x - 4}$ por $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(\sqrt{x} - 2) (x - 4)} - \frac{4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(\sqrt{x} - 2) (x - 4)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - lim_{x \to 4} 4 (\sqrt{x} - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.7

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4 - 4 (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.8.1.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 - 4 - 4 (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.8.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.8.1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{4 - 4 - 4 (\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.8.1.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4 - 4 - 4 (2 - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.8.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 - 4 - 4 (2 - 2)}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.8.1.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{4 - 4 - 4 \cdot 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.8.1.4

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$\frac{4 - 4 + 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.8.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.2.8.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} (x - 4) (\sqrt{x} - 2)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Etapa 2.1.3.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Etapa 2.1.3.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}$

Etapa 2.1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2)}$

Etapa 2.1.3.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{(4 - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{(4 - 1 \cdot 4) \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{(4 - 4) \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{4} - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.8.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.8.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{0}{0 \cdot (\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.8.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.1.3.8.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2 - 2)}$

Etapa 2.1.3.8.4

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)}{(x - 4) (\sqrt{x} - 2)} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4 - 4 (\sqrt{x} - 2)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 4] + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 (\sqrt{x} - 2)]$ .

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Etapa 2.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 4 (x^{\frac{1}{2}} - 2)]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 (x^{\frac{1}{2}} - 2)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2])}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.5

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.5.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0)}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.11

Some $\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.13

Combine $- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.15

Fatore $2$ de $- 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.16

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.16.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.16.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.16.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.5.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 4} \frac{1 + 0 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (\sqrt{x} - 2)]}$

Etapa 2.3.7

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(x - 4) (x^{\frac{1}{2}} - 2)]}$

Etapa 2.3.8

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 4$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2] + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.11

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.12

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.14.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.14.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.16

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.17

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.18

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.19

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 2.3.20

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Etapa 2.3.21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}$

Etapa 2.3.22

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) (1 + 0)}$

Etapa 2.3.23

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (x^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 1}$

Etapa 2.3.24

Multiplique $x^{\frac{1}{2}} - 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{(x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25

Simplifique.

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Etapa 2.3.25.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2

Combine os termos.

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Etapa 2.3.25.2.1

Combine $x$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.3

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.25.2.3.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.3.25.2.3.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.3.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.4

Combine $- 4$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.5

Fatore $2$ de $- 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.25.2.6.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.6.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.6.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.8

Para escrever $x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.9

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.11

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Etapa 2.3.25.2.12

Some $x^{\frac{1}{2}}$ e $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - 2}$

Etapa 2.3.25.3

Reordene os termos.

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.4

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.4.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.4.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 2.4.3

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{1 - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 2.5

Combine os termos.

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Etapa 2.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 2.5.3

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 2.5.4

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 2.5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 2.5.6

Para escrever $\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 2.5.7

Para escrever $- \frac{2}{\sqrt{x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 \sqrt{x}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.5.8.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 2.5.8.2

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{x}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{x} \cdot 2}}$

Etapa 2.5.8.3

Reordene os fatores de $\sqrt{x} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}$

Etapa 2.5.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}{\frac{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}{2 \sqrt{x}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 2 \cdot 2) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2

Combine os fatores.

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Etapa 3.1.2.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 2 \cdot 2}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$ por $\frac{2 \sqrt{x}}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x})}{\sqrt{x} ((3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4)}$

Etapa 3.1.3

Cancele o fator comum de $\sqrt{x}$ .

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Etapa 3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) (2 \sqrt{x})}{\sqrt{x} ((3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4)}$

Etapa 3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 4} \frac{(\sqrt{x} - 2) \cdot (2)}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 \frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4.1.2.1.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 \frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$2 \frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.3.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 \frac{2 - 2}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} (3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Etapa 4.1.3.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - 4 \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Etapa 4.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 \frac{0}{(lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Etapa 4.1.3.4

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{0}{(3 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Etapa 4.1.3.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Etapa 4.1.3.6

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 4}$

Etapa 4.1.3.7

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 4}$

Etapa 4.1.3.8

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.9

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{4} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{4} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.10.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.10.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 \frac{0}{(3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.10.1.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 \frac{0}{(3 \cdot 2 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.10.1.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$2 \frac{0}{(6 - 1 \cdot 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.10.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$2 \frac{0}{(6 - 4) \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.10.1.2

Subtraia $4$ de $6$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.10.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 \frac{0}{2 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.10.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$2 \frac{0}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.10.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 4.1.3.10.1.6

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$2 \frac{0}{4 - 4}$

Etapa 4.1.3.10.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.3.10.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.3.11

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$2 (\frac{0}{0})$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.5.2.2

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4]}$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [(3 \sqrt{x} - 4) \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} - 4$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 4] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} - 4] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{\frac{1}{2}} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.14

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.15

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.16

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.17

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.19.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{1 - 2}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.19.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{\frac{- 1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 (\frac{1}{2}) x^{- \frac{1}{2}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.21

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.22

Combine $3$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.23

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.24

Some $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.25

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.26

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.27

Cancele o fator comum.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.28

Reescreva a expressão.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.29

Para escrever $(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.30

Combine $(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.32

Combine $2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.33

Cancele o fator comum.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.7.34

Reescreva a expressão.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 4.3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{(3 x^{\frac{1}{2}} - 4) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.2

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.4

Cancele o fator comum.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.5

Divida $3$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - 4 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.6

Combine $- 4$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} + 3}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.8

Some $3$ e $3$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{6 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.9

Fatore $2$ de $6$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.10

Fatore $2$ de $- \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 \cdot 3 + 2 \cdot - 1 \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.11

Fatore $2$ de $2 (3) + 2 (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.12

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.9.2.12.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 (1)} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.12.2

Cancele o fator comum.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2 (3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 1} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.12.3

Reescreva a expressão.

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}{1} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.12.4

Divida $3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 4.3.9.2.13

Some $3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 4.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.5.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 4.5.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{3 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ por $\frac{1}{3 - \frac{2}{\sqrt{x}}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} (3 - \frac{2}{\sqrt{x}})}$

Etapa 4.7

Combine os termos.

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Etapa 4.7.1

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} (\frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})}$

Etapa 4.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 lim_{x \to 4} \frac{1}{2 \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{lim_{x \to 4} 1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{lim_{x \to 4} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 4} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 5.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot lim_{x \to 4} \frac{3 \sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}}$

Etapa 5.6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Etapa 5.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{lim_{x \to 4} 3 \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Etapa 5.8

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Etapa 5.9

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Etapa 5.10

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 4} \sqrt{x}}}$

Etapa 5.11

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 4} x} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{lim_{x \to 4} x}}}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.1.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{2}) \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Etapa 7.1.2

Reescreva a expressão.

$1 \frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{4} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Etapa 7.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Etapa 7.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Etapa 7.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 2}{\sqrt{4}}}$

Etapa 7.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{6 - 2}{\sqrt{4}}}$

Etapa 7.3.5

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{4}}}$

Etapa 7.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{2^{2}}}}$

Etapa 7.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{\sqrt{4} \cdot \frac{4}{2}}$

Etapa 7.5

Combine $\sqrt{4}$ e $\frac{4}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{4} \cdot 4}{2}}$

Etapa 7.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2^{2}} \cdot 4}{2}}$

Etapa 7.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{\frac{2 \cdot 4}{2}}$

Etapa 7.7

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{1}{\frac{8}{2}}$

Etapa 7.8

Divida $8$ por $2$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$