Cálculo Exemplos

$f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3

Como $- 4 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.5.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.5.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Etapa 1.6

Combine os termos.

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Etapa 1.6.1

Some $- 4 x$ e $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Etapa 1.6.2

Some $- 4 x + 2$ e $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Etapa 1.6.3

Some $- 4 x + 2$ e $0$ .

$- 4 x + 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 4 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $- 4$ e $0$ .

$f'' (x) = - 4$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 x + 2 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3

Como $- 4 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x + 0 + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 x + 0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 4 x + 0 + 2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.5.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.5.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 x + 0 + 2 + 0 + 0$

Etapa 4.1.6

Combine os termos.

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Etapa 4.1.6.1

Some $- 4 x$ e $0$ .

$- 4 x + 2 + 0 + 0$

Etapa 4.1.6.2

Some $- 4 x + 2$ e $0$ .

$- 4 x + 2 + 0$

Etapa 4.1.6.3

Some $- 4 x + 2$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x + 2$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x + 2$ .

$- 4 x + 2$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x + 2 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x + 2 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- 4 x = - 2$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 4 x = - 2$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 4 x = - 2$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $- 4$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$x = \frac{- 2 (1)}{- 4}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4$

Etapa 9

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um máximo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{1}{2^{2}} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 2 (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1.4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 (- 1) (\frac{1}{4}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2.1.4.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{1}{2 \cdot 2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = - 1 (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2.1.5

Reescreva $- 1 (\frac{1}{2})$ como $- (\frac{1}{2})$ .

$f (\frac{1}{2}) = - (\frac{1}{2}) - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 2 (\frac{1}{2}) + 2 y + 3$

Etapa 10.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - 4 y^{2} + 1 + 2 y + 3$

Etapa 10.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2} + 2 y + 3$

Etapa 10.2.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{- 1 + 2}{2} + 2 y + 3$

Etapa 10.2.2.3

Some $- 1$ e $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + \frac{1}{2} + 2 y + 3$

Etapa 10.2.3

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 10.2.4

Combine $3$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Etapa 10.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Etapa 10.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.6.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{1 + 6}{2}$

Etapa 10.2.6.2

Some $1$ e $6$ .

$f (\frac{1}{2}) = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Etapa 10.2.7

A resposta final é $- 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$ .

$y = - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2}$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 2 x^{2} - 4 y^{2} + 2 x + 2 y + 3$ .

$(\frac{1}{2}, - 4 y^{2} + 2 y + \frac{7}{2})$ é um máximo local

Etapa 12