Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 3) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 3) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $x - 3$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - 3 - (x + 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.2.1

Combine os termos opostos em $x - 3 - x - 1 \cdot 3$ .

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Etapa 1.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$\frac{- 3 - 1 \cdot 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 - 3}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Subtraia $3$ de $- 3$ .

$\frac{- 6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$ como ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x - 3)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{- 2}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$f'' (x) = - 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 3))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 6 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$f'' (x) = - 6 (- 2 {(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 3)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 3))$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Etapa 2.3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 3)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{1}{{(x - 3)}^{3}})$

Etapa 2.4.2

Combine $12$ e $\frac{1}{{(x - 3)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{{(x - 3)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{6}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6