Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 2.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Etapa 2.3

Subtraia $\cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$1 - \sin (x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sin (x) = - 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 9

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 9.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 10

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 0$

Etapa 12.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$

Etapa 13

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

Etapa 13.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \frac{π}{2})$ na primeira derivada $1 - \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

Etapa 13.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f' (0) = 1 - 0$

Etapa 13.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

Etapa 13.2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 13.2.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 13.3

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(\frac{π}{2}, \infty)$ na primeira derivada $1 - \sin (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

Etapa 13.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.2.1.1

Avalie $\sin (4)$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Etapa 13.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

Etapa 13.3.2.2

Some $1$ e $0.75680249$ .

$f' (4) = 1.75680249$

Etapa 13.3.2.3

A resposta final é $1.75680249$ .

$1.75680249$

Etapa 13.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = \frac{π}{2}$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 13.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = x + \cos (x)$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 14