Cálculo Exemplos

$f (x) = \ln (\sin^{2} (x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 2

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ em $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$\csc^{2} (x) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4

Mova $2$ para a esquerda de $\csc^{2} (x)$ .

$2 \cdot \csc^{2} (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reordene os fatores de $2 \csc^{2} (x) \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \csc^{2} (x) \cos (x) \sin (x)$

Etapa 6.2

Adicione parênteses.

$2 \csc^{2} (x) (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 6.3

Reordene $2 \csc^{2} (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) (2 \csc^{2} (x))$

Etapa 6.4

Adicione parênteses.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \csc^{2} (x)$

Etapa 6.5

Reordene $\cos (x)$ e $\sin (x) \cdot 2$ .

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) \csc^{2} (x)$

Etapa 6.6

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \csc^{2} (x)$

Etapa 6.7

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) \csc^{2} (x)$

Etapa 6.8

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\sin (2 x) {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 6.9

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\sin (2 x) \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sin (2 x) \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6.11

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin (2 x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6.12

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6.13

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ e $\sin^{2} (x)$ .

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Etapa 6.13.1

Fatore $\sin (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.13.2.1

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 6.13.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) (2 \cos (x))}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 6.13.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 6.14

Separe as frações.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 6.15

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Etapa 6.16

Divida $2$ por $1$ .

$2 \cot (x)$