Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x^{2}$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Etapa 1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Etapa 1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 1.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

Etapa 1.2.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Reordene os fatores de $e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ .

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores em $- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ .

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x e^{1 - 2 x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} (x e^{1 - 2 x^{2}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x \frac{d}{d x} (e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x^{2}$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 (x (e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x \cdot x (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 4 (x^{1 + 1} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.8.1

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (e^{1 - 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 \cdot e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique $e^{1 - 2 x^{2}}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}}) + e^{1 - 2 x^{2}})$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 4 (x^{2} (- 4 e^{1 - 2 x^{2}})) - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

Etapa 2.11.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

Etapa 2.11.4

Reordene os fatores em $16 e^{1 - 2 x^{2}} x^{2} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$f'' (x) = 16 x^{2} e^{1 - 2 x^{2}} - 4 e^{1 - 2 x^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 2 x^{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x^{2}$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Etapa 4.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Etapa 4.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Etapa 4.1.2.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 2 (2 x))$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

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Etapa 4.1.3.1

Reordene os fatores de $e^{1 - 2 x^{2}} (- 4 x)$ .

$- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$

Etapa 4.1.3.2

Reordene os fatores em $- 4 e^{1 - 2 x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Etapa 5.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{1 - 2 x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $e^{1 - 2 x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{1 - 2 x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{1 - 2 x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 x e^{1 - 2 x^{2}} = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$16 {(0)}^{2} e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$16 \cdot 0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $16$ por $0$ .

$0 e^{1 - 2 {(0)}^{2}} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{1 - 2 \cdot 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.3.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 e^{1 + 0} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.4

Some $1$ e $0$ .

$0 e^{1} - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.5

Simplifique.

$0 e - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $0$ por $e$ .

$0 - 4 e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Etapa 9.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.7.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 4 e^{1 - 2 \cdot 0}$

Etapa 9.1.7.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 - 4 e^{1 + 0}$

Etapa 9.1.8

Some $1$ e $0$ .

$0 - 4 e^{1}$

Etapa 9.1.9

Simplifique.

$0 - 4 e$

Etapa 9.2

Subtraia $4 e$ de $0$ .

$- 4 e$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = e^{1 - 2 {(0)}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = e^{1 - 2 \cdot 0}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (0) = e^{1 + 0}$

Etapa 11.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f (0) = e$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $e$ .

$y = e$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{1 - 2 x^{2}}$ .

$(0, e)$ é um máximo local

Etapa 13