Cálculo Exemplos

$f'' (x) = 12 x + \sin (x)$

Etapa 1

É possível determinar a função $f' (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 12 x d x + \int \sin (x) d x$

Etapa 3

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int x d x + \int \sin (x) d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \sin (x) d x$

Etapa 5

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$12 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \cos (x) + C$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$12 (\frac{x^{2}}{2} + C) - \cos (x) + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

$6 x^{2} - \cos (x) + C$

Etapa 7

A função $f'$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$f' (x) = 6 x^{2} - \cos (x) + C$

Etapa 8

É possível determinar a função $f (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 6 x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Etapa 10

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int x^{2} d x + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \cos (x) d x + \int C d x$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \cos (x) d x + \int C d x$

Etapa 13

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + \int C d x$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (\sin (x) + C) + C x + C$

Etapa 15.2

Simplifique.

$2 x^{3} - \sin (x) + C x + C$

Etapa 16

A função $f$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$f (x) = 2 x^{3} - \sin (x) + C x + C$