Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 6 {(2 x + 1)}^{5} (2) d x$

Etapa 3

Multiplique $2$ por $6$ .

$\int 12 {(2 x + 1)}^{5} d x$

Etapa 4

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$12 \int {(2 x + 1)}^{5} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 2 x + 1$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 2 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$12 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

Etapa 6

Combine $u^{5}$ e $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$12 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $12$ .

$\frac{12}{2} \int u^{5} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u^{5} d u$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u^{5} d u$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u^{5} d u$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{1} \int u^{5} d u$

Etapa 8.2.2.4

Divida $6$ por $1$ .

$6 \int u^{5} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{5}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Reescreva $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ como $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ .

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Combine $6$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

Etapa 10.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 u^{6} + C$

Etapa 10.2.3

Multiplique $u^{6}$ por $1$ .

$u^{6} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

${(2 x + 1)}^{6} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$ .

$F (x) =$ ${(2 x + 1)}^{6} + C$