Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (7 x)}{\sin (5 x)}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

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Etapa 1.1

Reescreva $\tan (7 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}}{\sin (5 x)}$ como um produto.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Converta de $\frac{\sin (7 x)}{\cos (7 x)}$ em $\tan (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$

Etapa 1.3.2

Converta de $\frac{1}{\sin (5 x)}$ em $\csc (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Etapa 2

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Etapa 3

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (7 x) \csc (5 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ - 0.1 & 1.75687007 \\ - 0.01 & 1.40287561 \\ - 0.001 & 1.4000287 \\ - 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Etapa 4

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $1.4$ . Portanto, o limite de $\tan (7 x) \csc (5 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $1.4$ .

$1.4$

Etapa 5

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (7 x) \csc (5 x)$

Etapa 6

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\tan (7 x) \csc (5 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \tan (7 x) \csc (5 x) \\ 0.1 & 1.75687007 \\ 0.01 & 1.40287561 \\ 0.001 & 1.4000287 \\ 0.0001 & 1.40000028 \end{array}$

Etapa 7

$1.4$