Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \tan (x)}{x}$

Etapa 1

Aplique identidades trigonométricas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x}$

Etapa 2

O limite de $\frac{\sin (x)}{x}$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ é $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1}$

Etapa 2.4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Etapa 2.4.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\cos (0)$

Etapa 2.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$