Cálculo Exemplos

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{14 h + 1} - 1}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{14 h + 1} - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{14 h + 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 14 h + 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 14 h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.4

Mova o termo $14$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + 1} - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\sqrt{14 \cdot 0 + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $14$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 1} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{14 h + 1} - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1} - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{14 h + 1} - 1$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1}] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [\sqrt{14 h + 1}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{14 h + 1}$ como ${(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ é $f' (g (h)) g' (h)$ , em que $f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ e $g (h) = 14 h + 1$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $14 h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [14 h + 1] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [14 h + 1] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $14 h + 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [14 h + 1] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $14 h + 1$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [14 h] + \frac{d}{d h} [1]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [14 h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $14$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $14 h$ em relação a $h$ é $14 \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.6

Como $1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $1$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (14 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.12

Multiplique $14$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (14 + 0) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.13

Some $14$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 14 + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.15

Combine $\frac{{(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $14$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 14}{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.16

Mova $14$ para a esquerda de ${(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{14 \cdot {(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.17

Mova ${(14 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{14}{2 {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.18

Fatore $2$ de $14$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.3.19.1

Fatore $2$ de $2 {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 7}{2 ({(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.19.2

Cancele o fator comum.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 7}{2 {(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3.19.3

Reescreva a expressão.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- 1$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{7}{{(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Reescreva ${(14 h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{14 h + 1}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\sqrt{14 h + 1}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Multiplique $\frac{7}{\sqrt{14 h + 1}}$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{7}{\sqrt{14 h + 1}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$7 lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{14 h + 1}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$7 \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{14 h + 1}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$7 \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{14 h + 1}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$7 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 14 h + 1}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 14 h + lim_{h \to 0} 1}}$

Etapa 2.6

Mova o termo $14$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{14 lim_{h \to 0} h + 1}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{14 \cdot 0 + 1}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $14$ por $0$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{0 + 1}}$

Etapa 4.1.2

Some $0$ e $1$ .

$7 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$7 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$7 (\frac{1}{1})$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$7 \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7$