Cálculo Exemplos

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$ , $(1, 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 1$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

Diferencie.

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Etapa 1.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x y + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Etapa 1.2.4

Reordene os termos.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Etapa 1.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Etapa 1.5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Etapa 1.5.2

Fatore $y'$ de $x y' + 2 y y'$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Etapa 1.5.2.2

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Etapa 1.5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Etapa 1.5.3

Divida cada termo em $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ e simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Divida cada termo em $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 2 y$ .

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Etapa 1.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Etapa 1.5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Etapa 1.5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Etapa 1.5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Etapa 1.5.3.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.5.3.3.5.1

Reescreva $- (2 x + y)$ como $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Etapa 1.5.3.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 1$ e $y = 1$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$- \frac{2 (1) + y}{(1) + 2 y}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $1$ na expressão.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Etapa 1.7.3

Remova os parênteses.

$- \frac{2 (1) + 1}{(1) + 2 (1)}$

Etapa 1.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{2 + 1}{1 + 2 (1)}$

Etapa 1.7.4.2

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2 (1)}$

Etapa 1.7.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.7.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{3}{1 + 2}$

Etapa 1.7.5.2

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{3}{3}$

Etapa 1.7.6

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 1.7.6.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.7.6.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{3}{3}$

Etapa 1.7.6.1.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.7.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 1$ e um ponto determinado $(1, 1)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 1 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $- 1 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = - 1 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 1 = - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.1.4.1

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y - 1 = - x - 1 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y - 1 = - x + 1$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = - x + 1 + 1$

Etapa 2.3.2.2

Some $1$ e $1$ .

$y = - x + 2$

Etapa 3