Cálculo Exemplos

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

Etapa 1.2

Resolva $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Subtraia $2 e^{3 x}$ dos dois lados da equação.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

Etapa 1.2.1.2

Subtraia $2 e^{3 x}$ de $3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = 1$

Etapa 1.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

Etapa 1.2.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Expanda $\ln (e^{3 x})$ movendo $3 x$ para fora do logaritmo.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

Etapa 1.2.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 x = \ln (1)$

Etapa 1.2.4

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$3 x = 0$

Etapa 1.2.5

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x = 0$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

Etapa 1.3.2

Simplifique $2 e^{3 (0)} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$y = 2 e^{0} + 1$

Etapa 1.3.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = 2 + 1$

Etapa 1.3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$y = 3$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 3)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 1$ e $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

Etapa 3.3

Subtraia $3 e^{3 x}$ de $2 e^{3 x}$ .

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

Etapa 3.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

Etapa 3.7

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 3.7.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 3.7.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 3.7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

Etapa 3.7.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$u_{lower} = - 3$

Etapa 3.7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

Etapa 3.7.5

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.7.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 3.8

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 3.9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

Etapa 3.10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Etapa 3.11

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Avalie $x$ em $0$ e em $- 1$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

Etapa 3.11.2

Avalie $e^{u}$ em $0$ e em $- 3$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Etapa 3.11.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1

Some $0$ e $1$ .

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

Etapa 3.11.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

Etapa 3.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

Etapa 3.12.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Etapa 3.12.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

Etapa 3.12.1.4

Multiplique $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

Etapa 3.12.1.4.2

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Etapa 3.12.1.4.3

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{e^{3}}$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Etapa 3.12.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Etapa 3.12.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Etapa 3.12.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Etapa 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

Etapa 5

Integre para encontrar a área entre $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

Etapa 5.3

Subtraia $2 e^{3 x}$ de $3 e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

Etapa 5.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Etapa 5.5

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 5.5.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 5.5.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 5.5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 5.5.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 5.5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Etapa 5.5.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$u_{upper} = 6$

Etapa 5.5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Etapa 5.5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Etapa 5.6

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Etapa 5.7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Etapa 5.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

Etapa 5.9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

Etapa 5.10

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.1

Avalie $e^{u}$ em $6$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

Etapa 5.10.2

Avalie $- x$ em $2$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.10.3.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.10.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

Etapa 5.10.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

Etapa 5.10.3.4

Some $- 2$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

Etapa 5.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Etapa 5.11.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

Etapa 5.11.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

Etapa 5.11.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

Etapa 5.11.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.11.3

Combine $- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 5.11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

Etapa 5.11.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.11.5.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

Etapa 5.11.5.2

Subtraia $6$ de $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

Etapa 5.11.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

Etapa 6

Some as áreas $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Etapa 6.2

Subtraia $7$ de $2$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Etapa 6.3

Para escrever $\frac{e^{6} - 5}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Etapa 6.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{e^{6} - 5}{3}$ por $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

Etapa 6.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Etapa 6.5.2

Multiplique $e^{6}$ por $e^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Etapa 6.5.2.2

Some $6$ e $3$ .

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

Etapa 7