Cálculo Exemplos

$\log_{b} (216) = 3$

Etapa 1

Reescreva $\log_{b} (216) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 216$

Etapa 2

Resolva $b$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $216$ dos dois lados da equação.

$b^{3} - 216 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $216$ como $6^{3}$ .

$b^{3} - 6^{3} = 0$

Etapa 2.2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = b$ e $b = 6$ .

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $b$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Etapa 2.4

Defina $b - 6$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $b - 6$ como igual a $0$ .

$b - 6 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$b = 6$

Etapa 2.5

Defina $b^{2} + 6 b + 36$ como igual a $0$ e resolva para $b$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $b^{2} + 6 b + 36$ como igual a $0$ .

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ para $b$ .

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Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 6$ e $c = 36$ na fórmula quadrática e resolva $b$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.3.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

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Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Subtraia $144$ de $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 108$ como $- 1 (108)$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (108)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.7

Reescreva $108$ como $6^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 2.5.2.3.1.7.1

Fatore $36$ de $108$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.7.2

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.9

Mova $6$ para a esquerda de $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.5.2.3.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ verdadeiro.

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$