Cálculo Exemplos

$(1 - 4 e^{x}) x^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 - 4 e^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

$(1 - 4 e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 - 4 e^{x}) (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $1 - 4 e^{x}$ .

$2 \cdot (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [1 - 4 e^{x}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 4 e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}])$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} \frac{d}{d x} [- 4 e^{x}]$

Etapa 2.6

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 e^{x}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (1 - 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \cdot 1 + 2 (- 4 e^{x})) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 x + 2 (- 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 2 (- 4 e^{x}) x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$2 x - 8 e^{x} x + x^{2} (- 4 e^{x})$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$- 8 e^{x} x - 4 e^{x} x^{2} + 2 x$

Etapa 4.5

Reordene os fatores em $- 8 e^{x} x - 4 e^{x} x^{2} + 2 x$ .

$- 8 x e^{x} - 4 x^{2} e^{x} + 2 x$