Cálculo Exemplos

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [{(2 t + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ e $g (t) = 2 t + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 t + 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t + 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Etapa 7

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1])$

Etapa 8

Multiplique $\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Etapa 10

Fatore $3$ de $3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Etapa 11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Etapa 11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [2 t + 1]$

Etapa 12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 13

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 15

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 + \frac{d}{d t} [1])$

Etapa 16

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 + 0)$

Etapa 17

Simplifique os termos.

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Etapa 17.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

Etapa 17.2

Combine $\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $2$ .

$\frac{{(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Etapa 17.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 17.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 17.5

Divida ${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(2 t + 1)}^{\frac{1}{2}}$