Cálculo Exemplos

$\frac{x^{3} - 1}{x}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{3} - 1$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 x^{1 + 2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 x^{3} - (x^{3} - 1)}{x^{2}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x^{3} - x^{3} - - 1}{x^{2}}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{3} - x^{3} + 1}{x^{2}}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2}}$