Cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 2 x}{x + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 2 x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x] - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2 \cdot 1) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.9.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Expanda $(x + 1) (2 x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x - 2) + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.4

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x + 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.1.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x + 2 x - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.2

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 0 - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.2.3

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} - (- 2 x)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 - x^{2} + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2 + 2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$\frac{x^{2} + 2 x - 2}{{(x + 1)}^{2}}$