Cálculo Exemplos

$\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$

Etapa 1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9 (x^{2} - 3)}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 3}{x^{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 3$ e $g (x) = x^{3}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$9 \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$9 \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5

Some $2 x$ e $0$ .

$9 \frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Mova $x$ .

$9 \frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$9 \frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 \frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4.3

Some $1$ e $3$ .

$9 \frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$9 \frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$9 \frac{2 x^{4} - (x^{2} - 3) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 7

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$9 \frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.2

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 3) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 7.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 (x^{2} - 3) x^{2}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Etapa 7.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 3))$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{6}}$

Etapa 8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum.

$9 \frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 8.3

Reescreva a expressão.

$9 \frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

Etapa 9

Combine $9$ e $\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$ .

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 3))}{x^{4}}$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (2 x^{2}) + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Etapa 10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.1

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{18 x^{2} + 9 (- 3 x^{2}) + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Etapa 10.3.1.2

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 (- 3 \cdot - 3)}{x^{4}}$

Etapa 10.3.1.3

Multiplique $9 (- 3 \cdot - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 9 \cdot 9}{x^{4}}$

Etapa 10.3.1.3.2

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{18 x^{2} - 27 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Etapa 10.3.2

Subtraia $27 x^{2}$ de $18 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} + 81}{x^{4}}$

Etapa 10.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Fatore $9$ de $- 9 x^{2} + 81$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1.1

Fatore $9$ de $- 9 x^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 81}{x^{4}}$

Etapa 10.4.1.2

Fatore $9$ de $81$ .

$\frac{9 (- x^{2}) + 9 (9)}{x^{4}}$

Etapa 10.4.1.3

Fatore $9$ de $9 (- x^{2}) + 9 (9)$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 9)}{x^{4}}$

Etapa 10.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9 (- x^{2} + 3^{2})}{x^{4}}$

Etapa 10.4.3

Reordene $- x^{2}$ e $3^{2}$ .

$\frac{9 (3^{2} - x^{2})}{x^{4}}$

Etapa 10.4.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = x$ .

$\frac{9 (3 + x) (3 - x)}{x^{4}}$