Cálculo Exemplos

$\frac{\ln (5 x)}{5 x}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\ln (5 x)}{5 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (5 x)}{x}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (5 x)}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (5 x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [5 x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{x (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{5 x}$ e $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{x}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{x}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [5 x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{1}{5} (5 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.4.1

Combine $5$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{5}{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.4.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{5}{5} \frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 \frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.4.3

Multiplique $\frac{d}{d x} [x]$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{d}{d x} [x] - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \ln (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \ln (5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \ln (5 x)}{x^{2}}$

Etapa 4.7.2

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1 - \ln (5 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (5 x)}{5 x^{2}}$