Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 5}{7 x^{2} - 2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{2} - 5$ e $g (x) = 7 x^{2} - 2$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5] - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x + 0) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $6 x$ e $0$ .

$\frac{(7 x^{2} - 2) (6 x) - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $6$ para a esquerda de $7 x^{2} - 2$ .

$\frac{6 \cdot (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 2]}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x + 0)}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $14 x$ e $0$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - (3 x^{2} - 5) (14 x)}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $14$ por $- 1$ .

$\frac{6 (7 x^{2} - 2) x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(6 (7 x^{2}) + 6 \cdot - 2) x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2} - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x + (- 14 (3 x^{2}) - 14 \cdot - 5) x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 (7 x^{2}) x + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{6 (7 (x \cdot x^{2})) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 (7 (x^{1} x^{2})) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 (7 x^{1 + 2}) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{6 (7 x^{3}) + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $7$ por $6$ .

$\frac{42 x^{3} + 6 \cdot - 2 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{2}) x - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 (x \cdot x^{2})) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.5.1.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 (x^{1} x^{2})) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{1 + 2}) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.4.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 14 (3 x^{3}) - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.5

Multiplique $3$ por $- 14$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} - 14 \cdot - 5 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.1.6

Multiplique $- 14$ por $- 5$ .

$\frac{42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Combine os termos opostos em $42 x^{3} - 12 x - 42 x^{3} + 70 x$ .

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Etapa 3.5.2.1

Subtraia $42 x^{3}$ de $42 x^{3}$ .

$\frac{- 12 x + 0 + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.2.2

Some $- 12 x$ e $0$ .

$\frac{- 12 x + 70 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Some $- 12 x$ e $70 x$ .

$\frac{58 x}{{(7 x^{2} - 2)}^{2}}$