Cálculo Exemplos

$\frac{1 + c e^{x}}{1 - c e^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ é $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ , em que $f (c) = 1 + c e^{x}$ e $g (c) = 1 - c e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 + c e^{x}] - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + c e^{x}$ com relação a $c$ é $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $1$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $1$ em relação a $c$ é $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [c e^{x}]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d c} [c e^{x}]$ .

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Etapa 3.1

Como $e^{x}$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $c e^{x}$ em relação a $c$ é $e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \frac{d}{d c} [c]) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ é $n c^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x} \cdot 1) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) (0 + e^{x}) - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Some $0$ e $e^{x}$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) \frac{d}{d c} [1 - c e^{x}]}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - c e^{x}$ com relação a $c$ é $\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (\frac{d}{d c} [1] + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 4.3

Como $1$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $1$ em relação a $c$ é $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 + \frac{d}{d c} [- c e^{x}])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 5

Avalie $\frac{d}{d c} [- c e^{x}]$ .

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Etapa 5.1

Como $- e^{x}$ é constante em relação a $c$ , a derivada de $- c e^{x}$ em relação a $c$ é $- e^{x} \frac{d}{d c} [c]$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \frac{d}{d c} [c])}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ é $n c^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x} \cdot 1)}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (0 - e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 6

Subtraia $e^{x}$ de $0$ .

$\frac{(1 - c e^{x}) e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - (1 + c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} + (- 1 \cdot 1 - (c e^{x})) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.1.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{x} e^{x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.2

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1.2.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c (e^{x} e^{x}) - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} - c e^{x + x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.2.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 \cdot 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} - 1 (- e^{x}) - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4

Multiplique $- 1 (- e^{x})$ .

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Etapa 7.4.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + 1 e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x}) (- e^{x})}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.5

Multiplique $e^{x}$ por $e^{x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.4.1.5.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c (e^{x} e^{x})) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{x + x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.5.3

Some $x$ e $x$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} - (c e^{2 x}) \cdot - 1}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.6

Multiplique $- c e^{2 x} \cdot - 1$ .

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Etapa 7.4.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + 1 c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.1.6.2

Multiplique $c$ por $1$ .

$\frac{e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.2

Combine os termos opostos em $e^{x} - c e^{2 x} + e^{x} + c e^{2 x}$ .

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Etapa 7.4.2.1

Some $- c e^{2 x}$ e $c e^{2 x}$ .

$\frac{e^{x} + 0 + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.2.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$\frac{e^{x} + e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.4.3

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(1 - c e^{x})}^{2}}$

Etapa 7.5

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$

Etapa 7.6

Reordene os fatores em $\frac{2 e^{x}}{{(- e^{x} c + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 e^{x}}{{(- c e^{x} + 1)}^{2}}$