Cálculo Exemplos

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

Etapa 2

A derivada de $x$ em relação a $t$ é $x'$ .

$x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Reescreva ${(2 t + 1)}^{2}$ como $(2 t + 1) (2 t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

Etapa 3.2

Expanda $(2 t + 1) (2 t + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $2 t$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

Etapa 3.3.2

Some $2 t$ e $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 t^{2} + 4 t + 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.2

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t^{2}$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.5

Como $4$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $4 t$ em relação a $t$ é $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.7

Multiplique $4$ por $1$ .

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.8

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.9

Some $8 t + 4$ e $0$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.5.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

Etapa 3.5.11

Multiplique $4 t^{2} + 4 t + 1$ por $1$ .

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Etapa 3.6.2

Combine os termos.

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Etapa 3.6.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Etapa 3.6.2.2

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Etapa 3.6.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Etapa 3.6.2.4

Some $1$ e $1$ .

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Etapa 3.6.2.5

Mova $4$ para a esquerda de $t$ .

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

Etapa 3.6.2.6

Some $8 t^{2}$ e $4 t^{2}$ .

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

Etapa 3.6.2.7

Some $4 t$ e $4 t$ .

$12 t^{2} + 8 t + 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

Etapa 5

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$