Cálculo Exemplos

${(x^{4} + 9)}^{8} (4 x^{3} d x)$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d (x^{3} x^{1})) d x$

Etapa 1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{3 + 1}) d x$

Etapa 1.3

Some $3$ e $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{4}) d x$

Etapa 1.4

Mova $4$ para a esquerda de ${(x^{4} + 9)}^{8}$ .

$\int 4 {(x^{4} + 9)}^{8} d x^{4} d x$

Etapa 2

Como $4 d$ é constante com relação a $x$ , mova $4 d$ para fora da integral.

$4 d \int {(x^{4} + 9)}^{8} x^{4} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = x^{4} + 9$ . Depois, $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = x^{4} + 9$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{4} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 9]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 3.1.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Etapa 3.1.5

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$4 x^{3}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{4}$ e ${u_{1}}^{8}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8}}{4} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Etapa 4.2

Combine $\frac{{u_{1}}^{8}}{4}$ e $\sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9}}{4} d u_{1}$

Etapa 5

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$4 d (\frac{1}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$d (\frac{4}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{4}{4}$ e $d$ .

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Etapa 6.3.2

Divida $d$ por $1$ .

$d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

Etapa 7

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = {u_{1}}^{8}$ e $d v = \sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$d ({u_{1}}^{8} (\frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{4}{5}$ e ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d ({u_{1}}^{8} \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Etapa 8.2

Combine ${u_{1}}^{8}$ e $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{{u_{1}}^{8} (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Etapa 8.3

Mova $4$ para a esquerda de ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 \cdot {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Etapa 8.4

Combine $\frac{4}{5}$ e ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

Etapa 8.5

Combine $8$ e $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{8 (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

Etapa 8.6

Multiplique $4$ por $8$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

Etapa 8.7

Combine $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ e ${u_{1}}^{7}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{7}}{5} d u_{1})$

Etapa 9

Como $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ para fora da integral.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} \int {u_{1}}^{7} d u_{1}))$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{1}}^{7}$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{8} {u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{1}{8} {u_{1}}^{8} + C))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{8}$ e ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$

Etapa 11.2

Reescreva $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$ como $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Reordene os termos.

$d (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

Etapa 11.3.2

Subtraia $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ de $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ .

$d \cdot 0 + C$

Etapa 11.3.3

Multiplique $d$ por $0$ .

$0 + C$

Etapa 11.3.4

Some $0$ e $C$ .

$C$