Cálculo Exemplos

${(4 z + e^{- z^{2}})}^{5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = z^{5}$ e $g (z) = 4 z + e^{- z^{2}}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $4 z + e^{- z^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d z} [4 z + e^{- z^{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d z} [4 z + e^{- z^{2}}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 z + e^{- z^{2}}$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} \frac{d}{d z} [4 z + e^{- z^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 z + e^{- z^{2}}$ com relação a $z$ é $\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}]$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (\frac{d}{d z} [4 z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $4 z$ em relação a $z$ é $4 \frac{d}{d z} [z]$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 \frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ é $f' (g (z)) g' (z)$ , em que $f (z) = e^{z}$ e $g (z) = - z^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- z^{2}$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{u_{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- z^{2}$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{- z^{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $z$ , a derivada de $- z^{2}$ em relação a $z$ é $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{- z^{2}} (- \frac{d}{d z} [z^{2}]))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ é $n z^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{- z^{2}} (- (2 z)))$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 {(4 z + e^{- z^{2}})}^{4} (4 + e^{- z^{2}} (- 2 z))$