Cálculo Exemplos

$y = \arccos (\frac{1}{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arccos (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arccos (u)$ em relação a $u$ é $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} (- x^{- 2})$

Etapa 2.3

Combine frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}} x^{- 2}$

Etapa 2.3.3

Combine $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$ e $x^{- 2}$ .

$\frac{x^{- 2}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}}}$

Etapa 2.3.4

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1^{2}}{x^{2}}} x^{2}}$

Etapa 3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} x^{2}}$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$