Cálculo Exemplos

$y = 9 x e^{- k x}$

Etapa 1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x e^{- k x}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x e^{- k x}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- k x}$ .

$9 (x \frac{d}{d x} [e^{- k x}] + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - k x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- k x$ .

$9 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$9 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- k x$ .

$9 (x (e^{- k x} \frac{d}{d x} [- k x]) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- k$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- k x$ em relação a $x$ é $- k \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k \frac{d}{d x} [x])) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k \cdot 1)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x} \cdot 1)$

Etapa 4.5

Multiplique $e^{- k x}$ por $1$ .

$9 (x (e^{- k x} (- k)) + e^{- k x})$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 (x (e^{- k x} (- k))) + 9 e^{- k x}$

Etapa 5.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 x (e^{- k x} (k)) + 9 e^{- k x}$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$- 9 e^{- k x} k x + 9 e^{- k x}$

Etapa 5.4

Reordene os fatores em $- 9 e^{- k x} k x + 9 e^{- k x}$ .

$- 9 k x e^{- k x} + 9 e^{- k x}$