Cálculo Exemplos

$y = \arctan (\sqrt{x})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4

Simplifique.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 9

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 12

Multiplique $\frac{1}{1 + x}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) \cdot 2}$

Etapa 13

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1

Mova $2$ para a esquerda de $1 + x$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x)}$

Etapa 13.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 x) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3

Combine os termos.

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Etapa 14.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14.3.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.3.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

Etapa 14.3.2.2

Multiplique $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 14.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

Etapa 14.3.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 14.3.2.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 14.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 14.3.2.5

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.4.1

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 14.4.1.1

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.4.1.2

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 14.4.1.3

Fatore $2 x^{\frac{1}{2}}$ de $2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 14.4.2

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{1})}$

Etapa 14.4.3

Simplifique.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$