Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{5} + 7}{x^{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{5} + 7$ e $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 7] - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 7] - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{5} + 7] - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [7]) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{4} + 0) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 2.5

Some $5 x^{4}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} (5 x^{4}) - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3

Multiplique $x^{3}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} x^{3} \cdot 5 - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{4 + 3} \cdot 5 - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3

Some $4$ e $3$ .

$\frac{x^{7} \cdot 5 - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 4

Mova $5$ para a esquerda de $x^{7}$ .

$\frac{5 \cdot x^{7} - (x^{5} + 7) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{5 x^{7} - (x^{5} + 7) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 6.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{7} - 3 (x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 6.2

Fatore $x^{2}$ de $5 x^{7} - 3 (x^{5} + 7) x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $x^{2}$ de $5 x^{7}$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5}) - 3 (x^{5} + 7) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 6.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 (x^{5} + 7) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5}) + x^{2} (- 3 (x^{5} + 7))}{x^{6}}$

Etapa 6.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (5 x^{5}) + x^{2} (- 3 (x^{5} + 7))$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7))}{x^{6}}$

Etapa 7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} (5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x^{5} - 3 (x^{5} + 7)}{x^{4}}$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 x^{5} - 3 x^{5} - 3 \cdot 7}{x^{4}}$

Etapa 8.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $- 3$ por $7$ .

$\frac{5 x^{5} - 3 x^{5} - 21}{x^{4}}$

Etapa 8.2.2

Subtraia $3 x^{5}$ de $5 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 21}{x^{4}}$