Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{x}}{2 x + 1}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.6.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{2 x e^{x} + e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2 e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x} x - e^{x}$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $e^{x}$ de $2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Etapa 4.4.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$