Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(1 - 2 x)}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(1 - 2 x)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(1 - 2 x)}^{3}] + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 1 - 2 x$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 2 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(1 - 2 x)}^{2} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2} \cdot 1) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.7

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3} \cdot 1$

Etapa 3.9

Multiplique ${(1 - 2 x)}^{3}$ por $1$ .

$x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore ${(1 - 2 x)}^{2}$ de $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2}) + {(1 - 2 x)}^{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore ${(1 - 2 x)}^{2}$ de $x (- 6 {(1 - 2 x)}^{2})$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Fatore ${(1 - 2 x)}^{2}$ de ${(1 - 2 x)}^{3}$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$

Etapa 4.1.3

Fatore ${(1 - 2 x)}^{2}$ de ${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6)) + {(1 - 2 x)}^{2} (1 - 2 x)$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (x \cdot (- 6) + 1 - 2 x)$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (- 6 \cdot x + 1 - 2 x)$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2 x$ de $- 6 x$ .

${(1 - 2 x)}^{2} (- 8 x + 1)$

Etapa 4.3

Reescreva ${(1 - 2 x)}^{2}$ como $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ .

$(1 - 2 x) (1 - 2 x) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.4

Expanda $(1 - 2 x) (1 - 2 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 (1 - 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x (1 - 2 x)) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 \cdot 1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.5.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$(1 + 1 (- 2 x) - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.5.1.2

Multiplique $- 2 x$ por $1$ .

$(1 - 2 x - 2 x \cdot 1 - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.5.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 x (- 2 x)) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.5.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1.5.1

Mova $x$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x)) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.5.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(1 - 2 x - 2 x - 2 \cdot - 2 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.5.1.6

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$(1 - 2 x - 2 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$

Etapa 4.6

Expanda $(1 - 4 x + 4 x^{2}) (- 8 x + 1)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$1 (- 8 x) + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 8 x$ por $1$ .

$- 8 x + 1 \cdot 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$- 8 x + 1 - 4 x (- 8 x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x \cdot x - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.4.1

Mova $x$ .

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 8 x + 1 - 4 \cdot - 8 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.5

Multiplique $- 4$ por $- 8$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x \cdot 1 + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.6

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 x^{2} (- 8 x) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.8.1

Mova $x$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 4.7.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.8.3

Some $1$ e $2$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x + 4 \cdot - 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.9

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 1$

Etapa 4.7.10

Multiplique $4$ por $1$ .

$- 8 x + 1 + 32 x^{2} - 4 x - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

Etapa 4.8

Subtraia $4 x$ de $- 8 x$ .

$- 12 x + 1 + 32 x^{2} - 32 x^{3} + 4 x^{2}$

Etapa 4.9

Some $32 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$- 12 x + 1 - 32 x^{3} + 36 x^{2}$