Cálculo Exemplos

$x \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin^{2} (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$x (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$x (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x) \cdot 1$

Etapa 4.2

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$x (2 \sin (x) \cos (x)) + \sin^{2} (x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os termos.

$2 x \cos (x) \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Adicione parênteses.

$2 x (\cos (x) \sin (x)) + \sin^{2} (x)$

Etapa 5.2.2

Reordene $2 x$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \sin (x) (2 x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 5.2.3

Adicione parênteses.

$\cos (x) (\sin (x) \cdot 2) x + \sin^{2} (x)$

Etapa 5.2.4

Reordene $\cos (x)$ e $\sin (x) \cdot 2$ .

$\sin (x) \cdot 2 \cos (x) x + \sin^{2} (x)$

Etapa 5.2.5

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) x + \sin^{2} (x)$

Etapa 5.2.6

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) x + \sin^{2} (x)$

Etapa 5.3

Reordene os fatores em $\sin (2 x) x + \sin^{2} (x)$ .

$x \sin (2 x) + \sin^{2} (x)$