Cálculo Exemplos

$y = (2 x^{3} + 8) (3 x^{7} - 9)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 x^{3} + 8$ e $g (x) = 3 x^{7} - 9$ .

$(2 x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 9] + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{7} - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$(2 x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Etapa 2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{7}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$(2 x^{3} + 8) (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$(2 x^{3} + 8) (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Etapa 2.4

Multiplique $7$ por $3$ .

$(2 x^{3} + 8) (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 9]) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Etapa 2.5

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$(2 x^{3} + 8) (21 x^{6} + 0) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $21 x^{6}$ e $0$ .

$(2 x^{3} + 8) (21 x^{6}) + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Etapa 2.6.2

Mova $21$ para a esquerda de $2 x^{3} + 8$ .

$21 \cdot (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) \frac{d}{d x} [2 x^{3} + 8]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 2.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 2.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Etapa 2.11

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (6 x^{2} + 0)$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $6 x^{2}$ e $0$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + (3 x^{7} - 9) (6 x^{2})$

Etapa 2.12.2

Mova $6$ para a esquerda de $3 x^{7} - 9$ .

$21 (2 x^{3} + 8) x^{6} + 6 \cdot (3 x^{7} - 9) x^{2}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(21 (2 x^{3}) + 21 \cdot 8) x^{6} + 6 (3 x^{7} - 9) x^{2}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$21 (2 x^{3}) x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7} - 9) x^{2}$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$21 (2 x^{3}) x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + (6 (3 x^{7}) + 6 \cdot - 9) x^{2}$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$21 (2 x^{3}) x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $2$ por $21$ .

$42 x^{3} x^{6} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.2.1

Mova $x^{6}$ .

$42 (x^{6} x^{3}) + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$42 x^{6 + 3} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5.2.3

Some $6$ e $3$ .

$42 x^{9} + 21 \cdot 8 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5.3

Multiplique $21$ por $8$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 6 (3 x^{7}) x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5.4

Multiplique $3$ por $6$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{7} x^{2} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5.5

Multiplique $x^{7}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.5.1

Mova $x^{2}$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 (x^{2} x^{7}) + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{2 + 7} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5.5.3

Some $2$ e $7$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{9} + 6 \cdot - 9 x^{2}$

Etapa 3.5.6

Multiplique $6$ por $- 9$ .

$42 x^{9} + 168 x^{6} + 18 x^{9} - 54 x^{2}$

Etapa 3.5.7

Some $42 x^{9}$ e $18 x^{9}$ .

$60 x^{9} + 168 x^{6} - 54 x^{2}$