Cálculo Exemplos

$y = {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{3}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} + 1$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{(x^{2} - 1) (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 1$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 \cdot (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2} \frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 3.8.3

Combine $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ e $3$ .

$\frac{(2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x) \cdot 3}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

Etapa 3.8.4

Mova $3$ para a esquerda de $2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x$ .

$\frac{3 \cdot (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} {(\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1})}^{2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{3 (2 (x^{2} - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (2 x^{2} x) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7

Combine os termos.

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Etapa 4.7.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (2 (x^{1} x^{2})) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 (2 x^{1 + 2}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{3 (2 x^{3}) + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{3} + 3 (2 \cdot - 1 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} + 3 (- 2 x) + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.6

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{2} x) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{1 + 2}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.9

Some $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x + 3 (- 2 x^{3}) + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.10

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 \cdot 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} + 3 (- 2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.12

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{3} - 6 x - 6 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.13

Subtraia $6 x^{3}$ de $6 x^{3}$ .

$\frac{- 6 x + 0 - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.14

Some $- 6 x$ e $0$ .

$\frac{- 6 x - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.15

Subtraia $6 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{- 12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.17

Multiplique $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ por $\frac{12 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 4.7.18

Multiplique ${(x^{2} - 1)}^{2}$ por ${(x^{2} - 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.7.18.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2 + 2}}$

Etapa 4.7.18.2

Some $2$ e $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (12 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 4.7.19

Mova $12$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Etapa 4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.8.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

Etapa 4.8.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

Etapa 4.8.3

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Etapa 4.9

Reordene os fatores em $- \frac{12 {(x^{2} + 1)}^{2} x}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$ .

$- \frac{12 x {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$