Cálculo Exemplos

$\ln (\sin (5 x))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (5 x)$ .

$\frac{1}{\sin (5 x)} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Etapa 2

Converta de $\frac{1}{\sin (5 x)}$ em $\csc (5 x)$ .

$\csc (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$\csc (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$\csc (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$\csc (5 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\csc (5 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1)$

Etapa 4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$\csc (5 x) \cos (5 x) \cdot 5$

Etapa 4.3.2

Mova $5$ para a esquerda de $\csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (\csc (5 x) \cos (5 x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $5 \csc (5 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cos (5 x) \csc (5 x)$

Etapa 5.2

Reescreva $\csc (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$5 \cos (5 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$

Etapa 5.3

Multiplique $5 \cos (5 x) \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

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Etapa 5.3.1

Combine $\frac{1}{\sin (5 x)}$ e $5$ .

$\frac{5}{\sin (5 x)} \cos (5 x)$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{5}{\sin (5 x)}$ e $\cos (5 x)$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Etapa 5.4

Separe as frações.

$\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Etapa 5.5

Converta de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ em $\cot (5 x)$ .

$\frac{5}{1} \cot (5 x)$

Etapa 5.6

Divida $5$ por $1$ .

$5 \cot (5 x)$