Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Etapa 1

Escreva $f (x) = e^{2 x - 1}$ como uma equação.

$y = e^{2 x - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = e^{2 y - 1}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $e^{2 y - 1} = x$ .

$e^{2 y - 1} = x$

Etapa 3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Etapa 3.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Expanda $\ln (e^{2 y - 1})$ movendo $2 y - 1$ para fora do logaritmo.

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Etapa 3.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2 y - 1$ por $1$ .

$2 y - 1 = \ln (x)$

Etapa 3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 y = \ln (x) + 1$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $2 y = \ln (x) + 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $2 y = \ln (x) + 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

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Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

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Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.4.1

Use as regras logarítmicas para mover $2 x - 1$ para fora do expoente.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique $2 x - 1$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Etapa 5.2.5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.2.5.1

Combine os termos opostos em $2 x - 1 + 1$ .

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Etapa 5.2.5.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Etapa 5.2.5.1.2

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.5.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

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Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Reescreva $\frac{\ln (x)}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (x)$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.5.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.5.2

Simplifique.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em $\ln (x) + 1 - 1$ .

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Etapa 5.3.4.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Etapa 5.3.4.2

Some $\ln (x)$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Etapa 5.3.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$