Cálculo Exemplos

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$

Etapa 1

Escreva

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ como uma equação.

y = e^{2 x - 1}

$y = e^{2 x - 1}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

x = e^{2 y - 1}

$x = e^{2 y - 1}$

Etapa 3

Resolva

y

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$ .

e^{2 y - 1} = x

$e^{2 y - 1} = x$

Etapa 3.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

Etapa 3.3

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Expanda

\ln (e^{2 y - 1})

$\ln (e^{2 y - 1})$ movendo

2 y - 1

$2 y - 1$ para fora do logaritmo.

(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

Etapa 3.3.2

O logaritmo natural de

e

$e$ é

1

$1$ .

(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique

2 y - 1

$2 y - 1$ por

1

$1$ .

2 y - 1 = \ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

2 y - 1 = \ln (x)

$2 y - 1 = \ln (x)$

Etapa 3.4

Some

1

$1$ aos dois lados da equação.

2 y = \ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$

Etapa 3.5

Divida cada termo em

2 y = \ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ por

2

$2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Divida cada termo em

2 y = \ln (x) + 1

$2 y = \ln (x) + 1$ por

2

$2$ .

\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Divida

y

$y$ por

1

$1$ .

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 4

Substitua

y

$y$ por

f^{- 1} (x)

$f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5

Verifique se

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

f^{- 1} (f (x))

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie

f^{- 1} (e^{2 x - 1})

$f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ substituindo o valor de

f

$f$ em

f^{- 1}

$f^{- 1}$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Use as regras logarítmicas para mover

2 x - 1

$2 x - 1$ para fora do expoente.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.2

O logaritmo natural de

e

$e$ é

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Multiplique

2 x - 1

$2 x - 1$ por

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Etapa 5.2.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Combine os termos opostos em

2 x - 1 + 1

$2 x - 1 + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1.1

Some

- 1

$- 1$ e

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Etapa 5.2.5.1.2

Some

2 x

$2 x$ e

0

$0$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.5.2

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.5.2.2

Divida

x

$x$ por

1

$1$ .

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

Etapa 5.3

Avalie

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

f (f^{- 1} (x))

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ substituindo o valor de

f^{- 1}

$f^{- 1}$ em

f

$f$ .

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Reescreva

\frac{\ln (x)}{2}

$\frac{\ln (x)}{2}$ como

\frac{1}{2} \ln (x)

$\frac{1}{2} \ln (x)$ .

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.1.2

Simplifique

\frac{1}{2} \ln (x)

$\frac{1}{2} \ln (x)$ movendo

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.3

Simplifique

2 \ln (x^{\frac{1}{2}})

$2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ movendo

2

$2$ para dentro do logaritmo.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.4

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Etapa 5.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.1

Multiplique os expoentes em

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.5.1.2

Cancele o fator comum de

2

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.5.1.2.1

Cancele o fator comum.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.5.1.2.2

Reescreva a expressão.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.3.5.2

Simplifique.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

Etapa 5.3.4

Combine os termos opostos em

\ln (x) + 1 - 1

$\ln (x) + 1 - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Subtraia

1

$1$ de

1

$1$ .

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

Etapa 5.3.4.2

Some

\ln (x)

$\ln (x)$ e

0

$0$ .

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

Etapa 5.3.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Etapa 5.4

Como

f^{- 1} (f (x)) = x

$f^{- 1} (f (x)) = x$ e

f (f^{- 1} (x)) = x

$f (f^{- 1} (x)) = x$ , então,

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ é o inverso de

f (x) = e^{2 x - 1}

$f (x) = e^{2 x - 1}$ .

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$