Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{2} + 2 x) (x + 1)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + 2 x$ e $g (x) = x + 1$ .

$(x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x^{2} + 2 x) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x^{2} + 2 x) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x^{2} + 2 x) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 2.4.2

Multiplique $x^{2} + 2 x$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x + (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$x^{2} + 2 x + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} + 2 x + (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.7

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 2 x + (x + 1) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} + 2 x + (x + 1) (2 x + 2 \cdot 1)$

Etapa 2.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x + (x + 1) (2 x + 2)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 2 x + (x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot 2$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 2 x + x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot 2$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} + 2 x + x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot 2 + 1 \cdot 2$

Etapa 3.4

Combine os termos.

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Etapa 3.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x^{1} x) + 1 (2 x) + x \cdot 2 + 1 \cdot 2$

Etapa 3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} + 2 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 1 (2 x) + x \cdot 2 + 1 \cdot 2$

Etapa 3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2} + 2 x + 2 x^{1 + 1} + 1 (2 x) + x \cdot 2 + 1 \cdot 2$

Etapa 3.4.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 1 (2 x) + x \cdot 2 + 1 \cdot 2$

Etapa 3.4.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 2 x + x \cdot 2 + 1 \cdot 2$

Etapa 3.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot x + 1 \cdot 2$

Etapa 3.4.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 2 x + 2 x + 2$

Etapa 3.4.8

Some $2 x$ e $2 x$ .

$x^{2} + 2 x + 2 x^{2} + 4 x + 2$

Etapa 3.4.9

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + 2 x + 4 x + 2$

Etapa 3.4.10

Some $2 x$ e $4 x$ .

$3 x^{2} + 6 x + 2$