Cálculo Exemplos

$e^{2 x} = \sin (x + 3 y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (e^{2 x}) = \frac{d}{d x} (\sin (x + 3 y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + 3 y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3 y$ .

$\cos (x + 3 y) \frac{d}{d x} [x + 3 y]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\cos (x + 3 y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 3.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 e^{2 x} = \cos (x + 3 y) (1 + 3 y')$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ .

$\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ por $\cos (x + 3 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $\cos (x + 3 y) (1 + 3 y') = 2 e^{2 x}$ por $\cos (x + 3 y)$ .

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (x + 3 y)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x + 3 y) (1 + 3 y')}{\cos (x + 3 y)} = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $1 + 3 y'$ por $1$ .

$1 + 3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $3 y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} - 1$ por $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y)} \cdot \frac{1}{3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 5.4.3.1.2

Combine.

$y' = \frac{2 e^{2 x} \cdot 1}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 5.4.3.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{\cos (x + 3 y) \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 5.4.3.1.4

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (x + 3 y)$ .

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cdot \cos (x + 3 y)} + \frac{- 1}{3}$

Etapa 5.4.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 e^{2 x}}{3 \cos (x + 3 y)} - \frac{1}{3}$