Cálculo Exemplos

${(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}} = x^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 11 x + 3 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $11 x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $11 x + 3 y$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.6

Combine frações.

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Etapa 2.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.6.3

Mova ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $11 x + 3 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.8

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.10

Multiplique $11$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Etapa 2.11

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.12

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$

Etapa 2.13

Simplifique.

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Etapa 2.13.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$ .

$(11 + 3 y') \frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $11 + 3 y'$ por $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} = 2 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}) = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 5.2.1.1.3

Cancele o fator comum de ${(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Etapa 5.2.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$11 + 3 y' = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 5.2.1.1.4

Reordene $11$ e $3 y'$ .

$3 y' + 11 = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 y' + 11 = 2 \cdot 3 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 y' + 11 = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.3.1

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ por $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.2.3.1.1

Fatore $3$ de $6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{- 11}{3}$

Etapa 5.3.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.3.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{- 11}{3}$

Etapa 5.3.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{- 11}{3}$

Etapa 5.3.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{- 11}{3}$

Etapa 5.3.2.3.1.2.4

Divida $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 11}{3}$

Etapa 5.3.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - \frac{11}{3}$

Etapa 5.3.2.3.2

Para escrever $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{11}{3}$

Etapa 5.3.2.3.3

Combine $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{11}{3}$

Etapa 5.3.2.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 11}{3}$

Etapa 5.3.2.3.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$