Cálculo Exemplos

$y = {\sin (x)}^{x}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({\sin (x)}^{x})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva ${\sin (x)}^{x}$ como $e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\sin (x)}^{x})}]$

Etapa 3.1.2

Expanda $\ln ({\sin (x)}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (\sin (x))}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x \ln (\sin (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x \ln (\sin (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x \ln (\sin (x))$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} \frac{d}{d x} [x \ln (\sin (x))]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (\sin (x))$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\sin (x)$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x)$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)) \cdot 1)$

Etapa 3.7.2

Multiplique $\ln (\sin (x))$ por $1$ .

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x)) + \ln (\sin (x)))$

Etapa 3.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x \ln (\sin (x))} (x (\csc (x) \cos (x))) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Etapa 3.8.2

Remova os parênteses.

$e^{x \ln (\sin (x))} x \csc (x) \cos (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Etapa 3.8.3

Reordene os termos.

$e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{x \ln (\sin (x))} x \cos (x) \csc (x) + e^{x \ln (\sin (x))} \ln (\sin (x))$