Cálculo Exemplos

$\cos (2 y) = x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y$ .

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 y$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 2 \sin (2 y) y'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 2 \sin (2 y) y' = 1$ por $- 2 \sin (2 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (2 y) y' = 1$ por $- 2 \sin (2 y)$ .

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $\sin (2 y)$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Separe as frações.

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

Etapa 5.3.2

Converta de $\frac{1}{\sin (2 y)}$ em $\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

Etapa 5.3.4

Combine $\csc (2 y)$ e $\frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$