Cálculo Exemplos

cos (2 y) = x

$\cos (2 y) = x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

\frac{d}{d x} (cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)

$\frac{d}{d x} (\cos (2 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

f (x) = cos (x)

$f (x) = \cos (x)$ e

g (x) = 2 y

$g (x) = 2 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

u

$u$ como

2 y

$2 y$ .

\frac{d}{d u} [cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de

cos (u)

$\cos (u)$ em relação a

u

$u$ é

- sin (u)

$- \sin (u)$ .

- sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

2 y

$2 y$ .

- sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

- sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]

$- \sin (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.2.1

Como

2

$2$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

2 y

$2 y$ em relação a

x

$x$ é

2 \frac{d}{d x} [y]

$2 \frac{d}{d x} [y]$ .

- sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])

$- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Multiplique

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

- 2 sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

- 2 sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]

$- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Reescreva

\frac{d}{d x} [y]

$\frac{d}{d x} [y]$ como

y'

$y'$ .

- 2 sin (2 y) y'

$- 2 \sin (2 y) y'$

- 2 sin (2 y) y'

$- 2 \sin (2 y) y'$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

1

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$

Etapa 5

Divida cada termo em

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ por

- 2 sin (2 y)

$- 2 \sin (2 y)$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em

- 2 sin (2 y) y' = 1

$- 2 \sin (2 y) y' = 1$ por

- 2 sin (2 y)

$- 2 \sin (2 y)$ .

\frac{- 2 sin (2 y) y'}{- 2 sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 sin (2 y)}

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de

- 2

$- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (2 y) y'}{- 2 \sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de

$\sin (2 y)$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (2 y) y'}{\sin (2 y)} = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.2.2.2

Divida

$y'$ por

$1$ .

$y' = \frac{1}{- 2 \sin (2 y)}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Separe as frações.

$y' = \frac{1}{- 2} \cdot \frac{1}{\sin (2 y)}$

Etapa 5.3.2

Converta de

$\frac{1}{\sin (2 y)}$ em

$\csc (2 y)$ .

$y' = \frac{1}{- 2} \csc (2 y)$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{2} \csc (2 y)$

Etapa 5.3.4

Combine

$\csc (2 y)$ e

$\frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\csc (2 y)}{2}$

Etapa 6

Substitua

$y'$ por

$\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (2 y)}{2}$