Cálculo Exemplos

$\cos (y^{2}) + x = e^{y}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\cos (y^{2}) + x) = \frac{d}{d x} (e^{y})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (y^{2}) + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (y^{2})]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y^{2}$ .

$- \sin (y^{2}) \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$- \sin (y^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \sin (y^{2}) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \sin (y^{2}) (2 y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (y^{2}) (y y') + 1$

Etapa 2.3.2

Reordene os termos.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$e^{y} y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1 = e^{y} y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- 2 y \sin (y^{2}) y' + 1$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = e^{y} y'$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $e^{y} y'$ .

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 = y' e^{y}$

Etapa 5.3

Subtraia $y' e^{y}$ dos dois lados da equação.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) + 1 - y' e^{y} = 0$

Etapa 5.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y} = - 1$

Etapa 5.5

Fatore $y'$ de $- 2 y y' \sin (y^{2}) - y' e^{y}$ .

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Etapa 5.5.1

Fatore $y'$ de $- 2 y y' \sin (y^{2})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) - y' e^{y} = - 1$

Etapa 5.5.2

Fatore $y'$ de $- y' e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y}) = - 1$

Etapa 5.5.3

Fatore $y'$ de $y' (- 2 y \sin (y^{2})) + y' (- 1 e^{y})$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - 1 e^{y}) = - 1$

Etapa 5.6

Reescreva $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$

Etapa 5.7

Divida cada termo em $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ por $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ e simplifique.

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Etapa 5.7.1

Divida cada termo em $y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}) = - 1$ por $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Etapa 5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum de $- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}$ .

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Etapa 5.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y})}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}} = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Etapa 5.7.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Etapa 5.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{1}{- 2 y \sin (y^{2}) - e^{y}}$

Etapa 5.7.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 y \sin (y^{2})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - e^{y}}$

Etapa 5.7.3.3

Fatore $- 1$ de $- e^{y}$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})}$

Etapa 5.7.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 y \sin (y^{2})) - (e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Etapa 5.7.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.7.3.5.1

Reescreva $- (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ como $- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})$ .

$y' = - \frac{1}{- 1 (2 y \sin (y^{2}) + e^{y})}$

Etapa 5.7.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - - \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Etapa 5.7.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Etapa 5.7.3.5.4

Multiplique $\frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y \sin (y^{2}) + e^{y}}$