Cálculo Exemplos

$x = \sqrt{1 + \cot (3 t)}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1 + \cot (3 t)}$ como ${(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} ({(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $x$ em relação a $t$ é $x'$ .

$x'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 1 + \cot (3 t)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + \cot (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + \cot (3 t)$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.6.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.6.2.2

Mova ${(1 + \cot (3 t))}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + \cot (3 t)]$

Etapa 4.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cot (3 t)$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

Etapa 4.6.4

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [\cot (3 t)])$

Etapa 4.6.5

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [\cot (3 t)]$

Etapa 4.7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cot (t)$ e $g (t) = 3 t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 t$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

Etapa 4.7.2

A derivada de $\cot (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [3 t])$

Etapa 4.7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 t$ .

$\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (- \csc^{2} (3 t) \frac{d}{d t} [3 t])$

Etapa 4.8

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Combine $\frac{1}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ e $\csc^{2} (3 t)$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 4.8.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.8.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.8.3.2

Combine $- 3$ e $\frac{\csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.8.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 4.8.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 4.8.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x' = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{3 \csc^{2} (3 t)}{2 {(1 + \cot (3 t))}^{\frac{1}{2}}}$